VESTIBULAR 2012 DA UFPA
QUESTÃO 06
(UFPA
2012) A taxa de evaporação média diária é a altura média que uma
superfície de água exposta ao clima perde por evaporação a cada dia. A
taxa de evaporação media diária (mm/dia) obtida pelo método do tanque
Classe A é de 4,4 em abril e de 6,1 em novembro. Com base nesses dados, é
correto afirmar que a quantidade, em litros, de água evaporada de uma
piscina profunda de 100m² de superfície ultrapassa em novembro a
quantidade evaporada em abril de aproximadamente.
VESTIBULAR 2012 DA UFPA
Questão 09
Legenda para entendimento:
sqrt(x) = Raiz quadrada de x
2ª)
(UFPA 2012) Uma passarela construída em uma BR no pará tem um vão livre
de comprimento 4L. A sustentação da passarela é feita a partir de 3
cabos de aço presos em uma coluna à esquerda a uma altura D da
passarela. Esta coluna por sua vez é presa por um cabo de aço preso a um
ponto na mesma altura da passarela, e a uma distância L da passarela,
conforme representa a figura abaixo.
Números complexos
Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b2- 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos deparamos com um valor negativo (Delta < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (normalmente no conjunto dos reais- R). A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números complexos, que representamos por C. Cone
Conceito de cone
Ao estudarmos Geometria nos deparamos com várias situações geométricas, alguns sólidos possuem origem e fundamentos na sua formação, um deles é o cone, figura presente no cotidiano.Dado um círculo de centro O e raio R no plano B, e um ponto P fora do plano. O cone será formado por segmentos de reta unindo o ponto P aos pontos do círculo. Observe a imagem:
Esferas
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Área e Volume de Corpos Esféricos
Os corpos esféricos possuem enorme importância no cotidiano de diversas atividades. Em alguns esportes, o formato esférico é representado pela bola, que é o principal objeto no andamento das disputas de futebol, vôlei, basquete, boliche, golfe, entre outras modalidades esportivas. Nos objetos móveis como bicicletas, carros e caminhões, o formato esférico está presente em componentes mecânicos responsáveis pela locomoção de tais veículos. Nesses veículos, os rolamentos são formados por esferas que permitem que ocorra o giro de uma roda em um eixo. Veja figura representativa de um rolamento:
Cilindros
Em Matemática, um cilindro é o objeto tridimensional gerado pela superfície de revolução de um retângulo em torno de um de seus lados. De maneira mais prática, o cilindro é um corpo alongado e de aspecto roliço, com o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento.
Aprenda, entre outros, a diferença entre um cilindro circular e cilindro equilátero assim como o cauculo da área lateral, total e o volume de ambos.
Classificação do Cilindro
Um cilindro é classificado segundo o
ângulo formado pela geratriz com os planos das bases:
- Reto: geratriz perpendicular às bases
e igual à altura;
- Oblíquo: todo cilindro que não é reto.
- Oblíquo: todo cilindro que não é reto.
O cilindro reto é também chamado
cilindro de revolução, pois pode ser obtido pela rotação de um retângulo em
torno de um de seus lados.
Geometria Espacial - Pirâmide
Dada uma região poligonal de n vértices e um ponto V fora da região (outro plano), ao traçarmos segmentos de retas entre os vértices da região poligonal e o ponto V, construímos uma pirâmide que será classificada de acordo com o número de lados do polígono da base
Prisma
Consideremos o prisma como um sólido geométrico
formado pelos seguintes elementos: base, altura, vértices, arestas e
faces laterais. Os prismas podem apresentar diversas formas, mas algumas
características básicas definem esse sólido geométrico. Por exemplo, o
número de faces do prisma será exatamente igual ao número de lados do
polígono que constitui suas bases (superior e inferior), dessa forma,
sua classificação quanto ao número de lados pode ser:
Geometria - Área de figuras planas
Figuras planas são aquelas que se situam num único plano. Imagine uma folha de papel. Ela pertence ao nosso mundo e tem as três dimensões: comprimento, largura e altura. No entanto, você deve estar se perguntando: ela tem mesmo altura? Tem sim... Alguns milímetros, talvez até menos que isso. É por isso que é comum associarmos a folha a um plano, que possui apenas duas dimensões: comprimento e largura.
Agora que já tem uma ideia de como é uma figura plana vamos caucular a área de cada uma delas (Retângulo, Quadrado, Triangulo, Triângulo equilatero, Paralelograma e hexágono).
Multiplicação de probabilidade e eventos independentes
 |
| Eventos Independentes |
Uma urna possui 50 bolas, sendo 20 bolas vermelhas e 30 bolas amarelas. Ao sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez com reposição de bola na urna sorteada, qual será a probabilidade da 1º bola ser vermelha e a 2ª ser amarela?
Veja como se resolve a seguir:
Probabilidade Condicional
Probabilidade condicional
Considere que desejamos calcular a probabilidade da ocorrência de um evento A, sabendo-se de antemão que ocorreu um certo evento B. Pela definição de probabilidade vista anteriormente, sabemos que a probabilidade de A deverá ser calculada, dividindo-se o número de elementos de elementos de A que também pertencem a B, pelo número de elementos de B. A probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que já ocorreu B, é denominada Probabilidade condicional e é indicada por p(A/B) – probabilidade de ocorrer A sabendo-se que já ocorreu B – daí, o nome de probabilidade condicional.
Teremos então:
Probabilidade - União de dois eventos
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S a probabilidade de ocorrer A ou B é dada por:
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Verificação:
O Número de elementos de A U B é igual à soma do número de elementos de A com o número de elementos de B, menos uma vez o número de elementos de A ∩ B que foi contado duas vezes (uma em A e outra em B). Assim temos:
n(AUB) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
Dividindo por n(S) [S ≠
] resulta
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Exemplo:
Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retirando uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ocorrer múltiplos de 2 ou múltiplos de 3?
A é o evento “múltiplo de 2”.
B é o evento “múltiplo de 3”.
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) =
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Verificação:
O Número de elementos de A U B é igual à soma do número de elementos de A com o número de elementos de B, menos uma vez o número de elementos de A ∩ B que foi contado duas vezes (uma em A e outra em B). Assim temos:
n(AUB) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
Dividindo por n(S) [S ≠
] resultaP(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Exemplo:
Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retirando uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ocorrer múltiplos de 2 ou múltiplos de 3?
A é o evento “múltiplo de 2”.
B é o evento “múltiplo de 3”.
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) =
Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe BrasilEscola
Graduada em Matemática
Equipe BrasilEscola
Noções Básicas de Probabilidade
Chama-se experimento aleatório àquele cujo resultado é imprevisível, porém pertence necessariamente a um conjunto de resultados possíveis denominado espaço amostral.
Qualquer subconjunto desse espaço amostral é denominado evento.
Se este subconjunto possuir apenas um elemento, o denominamos evento elementar.
Por exemplo, no lançamento de um dado, o nosso espaço amostral seria U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Exemplos de eventos no espaço amostral U:
A: sair número maior do que 4: A = {5, 6}
B: sair um número primo e par: B = {2}
C: sair um número ímpar: C = {1, 3, 5}
Nota: O espaço amostral é também denominado espaço de prova.
Trataremos aqui dos espaços amostrais equiprováveis, ou seja, aqueles onde os eventos elementares possuem a mesma chance de ocorrerem.
Por exemplo, no lançamento do dado acima, supõe-se que sendo o dado perfeito, as chances de sair qualquer número de 1 a 6 são iguais. Temos então um espaço equiprovável.
Qualquer subconjunto desse espaço amostral é denominado evento.
Se este subconjunto possuir apenas um elemento, o denominamos evento elementar.
Por exemplo, no lançamento de um dado, o nosso espaço amostral seria U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Exemplos de eventos no espaço amostral U:
A: sair número maior do que 4: A = {5, 6}
B: sair um número primo e par: B = {2}
C: sair um número ímpar: C = {1, 3, 5}
Nota: O espaço amostral é também denominado espaço de prova.
Trataremos aqui dos espaços amostrais equiprováveis, ou seja, aqueles onde os eventos elementares possuem a mesma chance de ocorrerem.
Por exemplo, no lançamento do dado acima, supõe-se que sendo o dado perfeito, as chances de sair qualquer número de 1 a 6 são iguais. Temos então um espaço equiprovável.
Em oposição aos fenômenos aleatórios, existem os fenômenos determinísticos, que são aqueles cujos resultados são previsíveis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem obtidos.
Normalmente existem diversas possibilidades possíveis de ocorrência de um fenômeno aleatório, sendo a medida numérica da ocorrência de cada uma dessas possibilidades, denominada Probabilidade.
Consideremos uma urna que contenha 49 bolas azuis e 1 bola branca. Para uma retirada, teremos duas possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos entretanto que será muito mais frequente obtermos numa retirada, uma bola azul, resultando daí, podermos afirmar que o evento "sair bola azul" tem maior probabilidade de ocorrer, do que o evento "sair bola branca".
2 – Conceito elementar de Probabilidade
Seja U um espaço amostral finito e equiprovável e A um determinado evento ou seja, um subconjunto de U. A probabilidade p(A) de ocorrência do evento A será calculada pela fórmula
p(A) = n(A) / n(U)
onde:
n(A) = número de elementos de A e n(U) = número de elementos do espaço de prova U.
Estreia da Coluna: Você Sabe ?
"Uma coluna feita especialmente para você ver a matemática de um jeito diferente."
Quéops, o maior sólido geométrico feito pelo
homem
O maior sólido geométrico feito pelo
homem é a pirâmide de Quéops, no Egipto e foi construída no século 25 a.C..
Esta construção é uma das "sete maravilhas do mundo" que chegou quase intacta aos nossos dias.
Tem de altura 138m e a base quadrada tem de lado 230m. Cobre uma área de 54000 m2 e foi feita com mais de dois milhões de blocos de pedra, pesando cada um deles, em média, 2,5 toneladas.
Segundo o historiador grego Heródoto, esta pirâmide, cujas faces laterais são triângulos isósceles, possui a seguinte propriedade: "Cada face lateral triangular tem uma área igual à do quadrado construído sobre a altura da pirâmide."
Os egípcios construiram cerca de 80 estruturas do tipo desta pirâmide.
A célebre frase que Napoleão disse aos seus soldados aquando da conquista do Egipto foi: "Soldados, do alto destas pirâmides quarenta séculos vos contemplam."
Esta construção é uma das "sete maravilhas do mundo" que chegou quase intacta aos nossos dias.
Tem de altura 138m e a base quadrada tem de lado 230m. Cobre uma área de 54000 m2 e foi feita com mais de dois milhões de blocos de pedra, pesando cada um deles, em média, 2,5 toneladas.
Segundo o historiador grego Heródoto, esta pirâmide, cujas faces laterais são triângulos isósceles, possui a seguinte propriedade: "Cada face lateral triangular tem uma área igual à do quadrado construído sobre a altura da pirâmide."
Os egípcios construiram cerca de 80 estruturas do tipo desta pirâmide.
A célebre frase que Napoleão disse aos seus soldados aquando da conquista do Egipto foi: "Soldados, do alto destas pirâmides quarenta séculos vos contemplam."
Fonte: Prof. Werneck
Probabilidade
Calcule as chances de se ganhar na loteria.
Consideremos a experiência do lançamento de uma moeda e leitura da face voltada para cima. Ao realizarmos n vezes a experiência, se obtivermos m vezes o resultado “cara” é
. É claro que lançada a moeda o resultado é imprevisível, pois não podemos dizer com absoluta certeza que o resultado será “cara”, pois nada impede que dê “coroa”.A experiência provou que conforme se aumenta n, ou seja, à medida que mais lançamentos da moeda são feitos, a frequência relativa
tende a estabilizar-se em torno de 
.Exemplo:
Em 1000 lançamentos (n = 1000), 529 resultados foram favoráveis (m = 529), o que nos dá para
o valor de 0,529.Em 4040 lançamentos, 2048 resultados foram favoráveis o que nos da
= 0,50693, isso significa que no lançamento de uma moeda “honesta” a probabilidade de se obter “cara” é 
. Essa experiência foi realizada por Kerrich e Buffon.A definição que permite calcular teoricamente a probabilidade de um evento, sem realizar a experiência é:
Dado um espaço amostral S, com n (S) elementos, e um evento a de S, com n(A) elementos, a probabilidade do evento A é o P(A) tal que:
Propriedades
Sendo S ≠
um espaço amostral qualquer, A um evento de S e 
o complementar de A em S, valem as seguintes propriedades:? P(
) = 0? P(S) = 1
? 0 ≤ P(A) ≤ 1
? P(A) + P(
) =1Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
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