VESTIBULAR 2012 DA UFPA


QUESTÃO 06

(UFPA 2012) A taxa de evaporação média diária é a altura média que uma superfície de água exposta ao clima perde por evaporação a cada dia. A taxa de evaporação media diária (mm/dia) obtida pelo método do tanque Classe A é de 4,4 em abril e de 6,1 em novembro. Com base nesses dados, é correto afirmar que a quantidade, em litros, de água evaporada de uma piscina profunda de 100m² de superfície ultrapassa em novembro a quantidade evaporada em abril de aproximadamente.

VESTIBULAR 2012 DA UFPA


Questão 09
Legenda para entendimento: 
sqrt(x) = Raiz quadrada de x

2ª) (UFPA 2012) Uma passarela construída em uma BR no pará tem um vão livre de comprimento 4L. A sustentação da passarela é feita a partir de 3 cabos de aço presos em uma coluna à esquerda a uma altura D da passarela. Esta coluna por sua vez é presa por um cabo de aço preso a um ponto na mesma altura da passarela, e a uma distância L da passarela, conforme representa a figura abaixo.

Números complexos


Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b2- 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos deparamos com um valor negativo (Delta < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (normalmente no conjunto dos reais- R). A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números complexos, que representamos por C

Cone

Conceito de cone

          Ao estudarmos Geometria nos deparamos com várias situações geométricas, alguns sólidos possuem origem e fundamentos na sua formação, um deles é o cone, figura presente no cotidiano. 
Dado um círculo de centro O e raio R no plano B, e um ponto P fora do plano. O cone será formado por segmentos de reta unindo o ponto P aos pontos do círculo. Observe a imagem:



Esferas












 Área e Volume de Corpos Esféricos

Os corpos esféricos possuem enorme importância no cotidiano de diversas atividades. Em alguns esportes, o formato esférico é representado pela bola, que é o principal objeto no andamento das disputas de futebol, vôlei, basquete, boliche, golfe, entre outras modalidades esportivas. Nos objetos móveis como bicicletas, carros e caminhões, o formato esférico está presente em componentes mecânicos responsáveis pela locomoção de tais veículos. Nesses veículos, os rolamentos são formados por esferas que permitem que ocorra o giro de uma roda em um eixo. Veja figura representativa de um rolamento:

Cilindros


Em Matemática, um cilindro é o objeto tridimensional gerado pela superfície de revolução de um retângulo em torno de um de seus lados. De maneira mais prática, o cilindro é um corpo alongado e de aspecto roliço, com o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento. 
Aprenda, entre outros, a diferença entre um cilindro circular e cilindro equilátero assim como o cauculo da área lateral, total e o volume de ambos.


Classificação do Cilindro


Um cilindro é classificado segundo o ângulo formado pela geratriz com os planos das bases:
- Reto: geratriz perpendicular às bases e igual à altura;
- Oblíquo: todo cilindro que não é reto.
O cilindro reto é também chamado cilindro de revolução, pois pode ser obtido pela rotação de um retângulo em torno de um de seus lados.

Geometria Espacial - Pirâmide


Dada uma região poligonal de n vértices e um ponto V fora da região (outro plano), ao traçarmos segmentos de retas entre os vértices da região poligonal e o ponto V, construímos uma pirâmide que será classificada de acordo com o número de lados do polígono da base





Prisma


           Consideremos o prisma como um sólido geométrico formado pelos seguintes elementos: base, altura, vértices, arestas e faces laterais. Os prismas podem apresentar diversas formas, mas algumas características básicas definem esse sólido geométrico. Por exemplo, o número de faces do prisma será exatamente igual ao número de lados do polígono que constitui suas bases (superior e inferior), dessa forma, sua classificação quanto ao número de lados pode ser:




Geometria - Área de figuras planas

             Figuras planas são aquelas que se situam num único plano. Imagine uma folha de papel. Ela pertence ao nosso mundo e tem as três dimensões: comprimento, largura e altura. No entanto, você deve estar se perguntando: ela tem mesmo altura? Tem sim... Alguns milímetros, talvez até menos que isso. É por isso que é comum associarmos a folha a um plano, que possui apenas duas dimensões: comprimento e largura.
             Agora que já tem uma ideia de como é uma figura plana vamos caucular a área de cada uma delas (Retângulo, Quadrado, Triangulo, Triângulo equilatero, Paralelograma e hexágono).

Multiplicação de probabilidade e eventos independentes

Eventos Independentes
                Quando temos uma situação envolvendo dois espaços amostrais com dois eventos independentes, realizamos a multiplicação entre as probabilidades. Confira o exemplo:
Uma urna possui 50 bolas, sendo 20 bolas vermelhas e 30 bolas amarelas. Ao sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez com reposição de bola na urna sorteada, qual será a probabilidade da 1º bola ser vermelha e a 2ª ser amarela?
Veja como se resolve a seguir:

Probabilidade Condicional


Probabilidade condicional
         Considere que desejamos calcular a probabilidade da ocorrência de um evento A, sabendo-se de antemão que ocorreu um certo evento B. Pela definição de probabilidade vista anteriormente, sabemos que a probabilidade de A deverá ser calculada, dividindo-se o número de elementos de elementos de A que também pertencem a B, pelo número de elementos de B. A probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que já ocorreu B, é denominada Probabilidade condicional e é indicada por p(A/B) – probabilidade de ocorrer A sabendo-se que já ocorreu B – daí, o nome de probabilidade condicional.

Teremos então:

Probabilidade - União de dois eventos


Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S a probabilidade de ocorrer A ou B é dada por:

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)



Verificação:
O Número de elementos de A U B é igual à soma do número de elementos de A com o número de elementos de B, menos uma vez o número de elementos de A ∩ B que foi contado duas vezes (uma em A e outra em B). Assim temos:

n(AUB) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
Dividindo por n(S) [S ≠ ] resulta



P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Exemplo:
Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retirando uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ocorrer múltiplos de 2 ou múltiplos de 3?


A é o evento “múltiplo de 2”.
B é o evento “múltiplo de 3”.

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) =  
Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe BrasilEscola

Noções Básicas de Probabilidade


Chama-se experimento aleatório àquele cujo resultado é imprevisível, porém pertence necessariamente a um conjunto de resultados possíveis denominado espaço amostral.
Qualquer subconjunto desse espaço amostral é denominado evento.
Se este subconjunto possuir apenas um elemento, o denominamos evento elementar.

Por exemplo, no lançamento de um dado, o nosso espaço amostral seria U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Exemplos de eventos no espaço amostral U:
A: sair número maior do que 4: A = {5, 6}
B: sair um número primo e par: B = {2}
C: sair um número ímpar: C = {1, 3, 5}

Nota: O espaço amostral é também denominado espaço de prova.
Trataremos aqui dos espaços amostrais equiprováveis, ou seja, aqueles onde os eventos elementares possuem a mesma chance de ocorrerem.
Por exemplo, no lançamento do dado acima, supõe-se que sendo o dado perfeito, as chances de sair qualquer número de 1 a 6 são iguais. Temos então um espaço equiprovável.
Em oposição aos fenômenos aleatórios, existem os fenômenos determinísticos, que são aqueles cujos resultados são previsíveis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem obtidos.
Normalmente existem diversas possibilidades possíveis de ocorrência de um fenômeno aleatório, sendo a medida numérica da ocorrência de cada uma dessas possibilidades, denominada Probabilidade.
Consideremos uma urna que contenha 49 bolas azuis e 1 bola branca. Para uma retirada, teremos duas possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos entretanto que será muito mais frequente obtermos numa retirada, uma bola azul, resultando daí, podermos afirmar que o evento "sair bola azul" tem maior probabilidade de ocorrer, do que o evento "sair bola branca".
2 – Conceito elementar de Probabilidade
Seja U um espaço amostral finito  e equiprovável e A um determinado evento ou seja, um subconjunto de U. A probabilidade p(A) de ocorrência do evento A será calculada pela fórmula

p(A) = n(A) / n(U)

onde:
n(A) = número de elementos de A e n(U) = número de elementos do espaço de prova U.


Fonte: Algo Sobre

Estreia da Coluna: Você Sabe ?

"Uma coluna feita especialmente para você ver a matemática de um jeito diferente."


Quéops, o maior sólido geométrico feito pelo homem


O maior sólido geométrico feito pelo homem é a pirâmide de Quéops, no Egipto e foi construída no século 25 a.C..
Esta construção é uma das "sete maravilhas do mundo" que chegou quase intacta aos nossos dias.
Tem de altura 138m e a base quadrada tem de lado 230m. Cobre uma área de 54000 m2 e foi feita com mais de dois milhões de blocos de pedra, pesando cada um deles, em média, 2,5 toneladas.
Segundo o historiador grego Heródoto, esta pirâmide, cujas faces laterais são triângulos isósceles, possui a seguinte propriedade: "Cada face lateral triangular tem uma área igual à do quadrado construído sobre a altura da pirâmide."
Os egípcios construiram cerca de 80 estruturas do tipo desta pirâmide.
A célebre frase que Napoleão disse aos seus soldados aquando da conquista do Egipto foi: "Soldados, do alto destas pirâmides quarenta séculos vos contemplam."

Fonte: Prof. Werneck

Probabilidade

Calcule as chances de se ganhar na loteria.
Calcule as chances de se ganhar na loteria.
Conceito

Consideremos a experiência do lançamento de uma moeda e leitura da face voltada para cima. Ao realizarmos n vezes a experiência, se obtivermos m vezes o resultado “cara” é  . É claro que lançada a moeda o resultado é imprevisível, pois não podemos dizer com absoluta certeza que o resultado será “cara”, pois nada impede que dê “coroa”.
A experiência provou que conforme se aumenta n, ou seja, à medida que mais lançamentos da moeda são feitos, a frequência relativa  tende a estabilizar-se em torno de  .

Exemplo:
Em 1000 lançamentos (n = 1000), 529 resultados foram favoráveis (m = 529), o que nos dá para  o valor de 0,529.
Em 4040 lançamentos, 2048 resultados foram favoráveis o que nos da  = 0,50693, isso significa que no lançamento de uma moeda “honesta” a probabilidade de se obter “cara” é  . Essa experiência foi realizada por Kerrich e Buffon.
A definição que permite calcular teoricamente a probabilidade de um evento, sem realizar a experiência é:

Dado um espaço amostral S, com n (S) elementos, e um evento a de S, com n(A) elementos, a probabilidade do evento A é o P(A) tal que:



Propriedades

Sendo S ≠  um espaço amostral qualquer, A um evento de S e  o complementar de A em S, valem as seguintes propriedades:

? P(  ) = 0
? P(S) = 1
? 0 ≤ P(A) ≤ 1

? P(A) + P( ) =1

Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática